Question

两道数学分析的证明题，在线等。

设f(x)在[a,b]上连续，x1,x2,x3......xn∈[a,b]，且t1+t2+t3+......+tn=1，ti>0,i=1,2,3...,n。证明：存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=t1f(x1) + t2f(x2) + ...... + tnf(xn)。
利用归结原则证明：lim n→无穷 (1+1/n+1/n^2)^n=e。 在线等求解答。

Answer 1

1.参考http://zhidao.baidu.com/question/1829912680404694700.html?from=pubpage&msgtype=2

2. 令f(x)=(1+x+x²)^(1/x)，则
lim{x→0}f(x)=lim{x→0}[(1+x+x²)^(1/x)]
=lim{x→0}e^[1/x*ln(1+x+x²)]
=e^[lim{x→0}1/x*ln(1+x+x²)]
=e^[lim{x→0}1/x*(x+x²)] 当a→0时，ln(1+a)~a
=e^[lim{x→0}(1+x)]
=e
取x{n}=1/n，则lim{n→∞}x{n}=lim{n→∞}1/n=0
由归结原则可知，lim{n→∞}f[x{n}]=lim{x→0}f(x)
即lim{n→∞}(1+1/n+1/n²)^n=e