Question

已知a+b+c＞0.ab+bc+ac＞0.abc＞0.求证a.b.c＞0。用反证法

Answer 1

假如a>0,b<0,c<0由a+b+c>0，得a>-(b+c)；由ab+bc+ac>0,得a<漏历斗-bc/(b+c)所以-(b+c)<-bc/(b+c),即b2+bc+c2<0,这与b<0,c<0矛盾。
补充： 因为abc>0所以a,b,c为3个正数或者1个正数2个负数
假设为1正2负 由于a,b,c是对称的 不妨设a>烂游0>b>=c
因为a+b+c>0 所以a>-(b+c) 又因为b+c<0所以a(b+c)<-(b+c)^2
所以ab+bc+ac=bc+a(b+c)<bc-(b+c)^2=-b^2-c^2-bc=-(b+c/2)^2-3c^2/4<0
与返磨ab+bc+ac>0矛盾 所以a,b,c均为正数