Question

数学二次函数题目

二次函数y=ax^2+bx+c中,a>0,当x<()时,y随着x的增大而减小,当x>()时,y随着x 的增大而增大，当x=()时，y最小。
二次函数y=ax^2+bx+c中，a＜0,当x＜（）时，y随着x的增大而增大，当x＞（）时，y随着X的增大而减小，当x=()时，y最（)

Answer 1

二次函数的解法
一、知道三个点
　　可设函数为y=ax^2+bx+c，把三个点代入式子得出三个方程，就能解出a、b、c的值。
二、知道函数图象与x轴的交点坐标及另一点
　　可设函数为y=a(x-x₁)(x-x₂)，把第一个交点的x值代入x1中，第二个交点的x值代入x2中，把另一点的值代入x、y中求出a。
三、使用韦达定理一元二次方程
　　韦达定理一元二次方程即
　　设ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0) 　
　两个根为X₁和X₂ 　
　则X₁+X₂= -b/a 　
　X₁·X₂=c/a 　
　例：已知顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，设y=a(x-1)2+2,把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2 　　四、牛顿插值公式y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1·x2)(y1为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式
　　y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
顶点式
　　y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式
　　y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] 　　
由一般式变为交点式的步骤：

二次函数(16张)　
　∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a 　
　∴y=ax2+bx+c 　
　=a（x2+b/ax+c/a）
　　=a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 　
　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

二次函数与X轴交点的情况
　　当△=b^2-4ac>0时， 函数图像与x轴有两个交点。
　　当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。
　　当△=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

求根公式
　　x是自变量，y是因变量，y是x的二次函数
　　x1,2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a
　　(即一元二次方程求根公式）
　　求根的方法还有因式分解法和配方法
图像
　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像， 　
　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
　　注意：草图要有
　　1. 本身图像，旁边注明函数。
　　2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a）
　　3. 与X轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
　　1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a
　　对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
　　特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）
　　a,b同号，对称轴在y轴左侧
　　b=0,对称轴是y轴
　　a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
　　二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 　
　当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)²;+k
　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a
开口
　　二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
　　当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
　　当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
　　当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
　　可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
　　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的
　　斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
　　常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
　　二次函数图像与y轴交于（0,C）
　　注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
　　a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
　　k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。
　　a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
　　当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
　　当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymix=k，在x>h范围内事增函数，在x<h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
　　当a=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数
特殊值的形式
　　7.特殊值的形式
　　①当x=1时 y=a+ah2+2ah+a
②当x=-1时 y=a+ah2-2ah+k
　　③当x=2时 y=4a+ah2+8ah+k
　　④当x=-2时 y=4a+ah2-8ah+k
二次函数的性质
　　8.定义域：R
　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
　　奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 。
　　周期性：无
　　解析式：
　　①y=ax^2+bx+c[一般式]
　　⑴a≠0
　　⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；
　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；
　　⑷Δ=b2-4ac,
　　Δ>0，图象与x轴交于两点：
　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
　　Δ=0，图象与x轴交于一点：
　　（-b/2a，0）；
　　Δ<0，图象与x轴无交点；
　　特殊地，Δ=4，顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；Δ=12，顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。
　　②y=a(x-h)2+k[顶点式]
　　此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a
　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
　　对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X
　　的增大而减小
　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连 　　用）。
　　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
　　增减性
　　当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反
　　当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反
是否可以解决您的问题？

Answer 2

二次函数y=ax^2+bx+c中,a>0,当x<(-b/2a)时,y随着x的增大而减小,当x>(-b/2a)时,y随着x 的增大而增大，当x=(-b/2a)时，y最小（4ac-b^2)/4a。
二次函数y=ax^2+bx+c中，a＜0,当x＜（-b/2a）时，y随着x的增大而增大，当x＞（-b/2a）时，y随着X的增大而减小，当x=(-b/2a)时，y最大（4ac-b^2)/4a

Answer 3

有两不同交点说明方程x^2+ax-a+3=0的△＞0
即a^2-4（3-a）＞0
对称轴为a/2，用含a的代数式表示BC两点的坐标，用含a的代数式顶点坐标的Y轴的绝对值的表达式，假设为s吧（根据公式4ac-b^2/4a)
我没草稿纸，不好意思，就当B点的表达式为k，假设当k＞0时，则有
（k-a/2)/s=cot60°看是否符合k＞0，符合
，算出的a就是答案
但此题答案有可能不唯一还可假设k＜0时（k-a/2)/s=cot60°是否符合k＜0
如也可以
，这还是答案
当k=0，计算过程同上
至于直角三角形就要抓住勾股定理，因为抛物线是轴对称图形，所以若存在直角三角形，必定是等腰直角。。。
还是根据上面推出的公式（k-a/2)/s=cot45°
考虑三种情况k＞0
k＜0和k=0
（初三同学答）
问题补充：哦，不好意思，刚才考虑漏了一点，2,3问无论如何都必须符合
a^2-4（3-a）＞0
我的方法错的？那我算下第二个问吧，
根据距离公式BC=√△/二次项系数的绝对值
得BC=√△
顶点坐标与X轴的距离为4a-12+a²/4=△/4
既是等边三角形，那么BC:a到x轴的距离=2:√3
即√△/2=△/4√3
应该可以算出来了，
不懂可以再问。。。耗了我这么多时间，没有功劳也有苦劳啊。。。
可怜可怜我的手吧。。。
我不知道算对没有（计算量太大了），
（2）问的答案是y=x²+(-2-2√7)x+2√7+5
(3)y=x²+(-2-2√5)x+2√5+5
这个应该是压轴题了吧。。。

Answer 4

二次函数y=ax^2+bx+c中,a>0,当x<(-b/2a)时,y随着x的增大而减小,当x>(-b/2a)时,y随着x 的增大而增大，当x=(-b/2a)时，y最小。
二次函数y=ax^2+bx+c中，a＜0,当x＜（-b/2a）时，y随着x的增大而增大，当x＞（-b/2a）时，y随着X的增大而减小，当x=(-b/2a)时，y最（大)

Answer 5

X1+X2=负的A分之B
X1乘X2=A分之C
X1X2指方程的2个解
A是系数
例
2X平方+3X+5=0中2是A
3是B
5是C