Question

函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（-∞，2-1e）∪(2?1e，2)（-∞，2-1

函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（-∞，2-1e）∪(2?1e，2)（-∞，2-1e）∪(2?1e，2)．

Answer 1

f′(x)＝

1

x

+a，（x＞0）．
∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，
∴方程

1

x

+a＝2在区间x∈（0，+∞）上有解．
即a＝2?

1

x

在区间x∈（0，+∞）上有解．
∴a＜2．
若直线2x-y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x₀，2x₀）．
则

1 x0 +a＝2 2x0＝lnx0+ax0

，解得x₀=e．
此时a＝2?

1

e

．
综上可知：实数a的取值范围是（-∞，2-

1

e

）∪(2?

1

e

，2)．
故答案为：（-∞，2-

1

e

）∪(2?

1

e

，2)．