Question

数学高中：已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(根号2)^bn，若{an}等比数列，且a1=2，b3=6+b2

已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(根号2)^bn，若{an}等比数列，且a1=2，b3=6+b2，（2）设cn=an-bn/n ，n∈N*，记数列{cn}前n项和为Sn，求Sn
答案：[2^(n+1)]-[(n²+3n+4)/2]（n∈N*）
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Answer 1

a1=2，
而an=(根号2)^bn

所以b1=2
根据表达式a1a2a3…an=(根号2)^bn，
由于an为等比数列，可以设an=a1*q^（n-1）=2*q^（n-1）
a1a2a3…an=2^n*q^（1+2+3+…+n-1）=2^n*q^{n*（n-1）/2}
bn=log根号2为底2^n*q^{n*（n-1）/2}=2n+{n*（n-1）/2}*log根号2为底的q
b1=2，b3-b2=6
b3-b2=6+3*log根号2为底的q-[4+log根号2为底的q]=2+2log根号2为底的q=6
所以q=2
因此，an的表达式为
an=2*2^（n-1）=2^n
所以bn的表达式为
bn=2n+n*（n-1）=n^2+n

可以得到cn的表达式为
cn=an-bn/n =2^n-（n+1）
sn求和
2^（n+1）-2-[n*（n+1）/2+n]
=2^（n+1）-[(n²+3n+4)/2]