Question

求常微分方程的通解 y''-2y'＋y＝（1/x）e^x

Answer 1

因为y = e^x 是齐次方程的解，根据常数变易法可令 y = e^x * v.

求导有,
y' = e^x (v' + v)
y'' = e^x (v'' + 2v' + v).

代入原方程有
e^x (v'' + 2v' + v) - 2 * e^x (v' + v) + e^x v = e^x/x
==> v'' = 1/x

两边同时积分:
v' = ln x + A'
==> v = (x ln x - x) + A'x + B, 根据分部积分
==> v = x ln x + Ax + B, 其中 A = A' - 1.

因此, y = e^x * v = xe^x ln x + (Ax + B)e^x.