Question

级数√(n+2)-2√(n+1)+√n

级数√(n+2)-2√(n+1)+√n求具体过程

Answer 1

解：原式=∑[√(n+2)-√(n+1)]-∑[√(n+1)-√n]。
而∑[√(n+2)-√(n+1)]=√(n+2)-√2、∑[√(n+1)-√n]=√(n+1)-1，
∴原式=1-√2+lim(n→∞)[√(n+2)-√(n+1)]=1-√2+lim(n→∞)1/[√(n+2)+√(n+1)]=1-√2。供参考。

Answer 2

我们可以将级数中的每一项化简，得到：
√(n+2) - 2√(n+1) + √n
= (√(n+2) - √(n+1)) - (√(n+1) - √n)
接下来，我们可以利用差的平方公式来化简这个式子，得到：
= (√(n+2) - √(n+1)) - (√(n+1) - √n) * (1/(√(n+2) + √(n+1) + √n))
= (√(n+2) - √(n+1)) - (√(n+1) - √n) * (√(n+2) - √(n+1)) / ((n+2) - (n+1))
= (√(n+2) - √(n+1)) - (√(n+1) - √n) * (√(n+2) - √(n+1))
= (√(n+2) - √(n+1)) * (1 - (√(n+1) - √n))
= (√(n+2) - √(n+1)) * (2√(n+1) - √n - √(n+1))
= (√(n+2) - √(n+1)) * (√(n+1) - √n)
因此，原级数可以化为：
(√(n+2) - √(n+1)) * (√(n+1) - √n)
接下来，我们将级数中的每一项拆开，得到：
a_n = (√(n+2) - √(n+1)) * (√(n+1) - √n)
= (√(n+2)√(n+1) - √(n+1)^2) - (√(n+1)√n - √n^2)
= n^(3/2) - (2n+1)^(3/2) + (n+1)^(3/2)
因此，原级数可以写成：
∑(n=1 to ∞) (n^(3/2) - (2n+1)^(3/2) + (n+1)^(3/2))

Answer 3

5. 题目中已算出
∑<n=1, ∞>[√(n+2)-2√(n+1)+√n]
= ∑<n=1, ∞>{1/[√(n+2)+√(n+1)] - 1/[√(n+1)+√n]]
= lim<n→∞>{1/(√3+√2) - 1/(√2+1) + 1/(√4+√3) - 1/(√3+√2)
+ 1/(√5+√4) - 1/(√4+√3) + ...... + 1/[√(n+2)+√(n+1)]}
= lim<n→∞>{ -1/(√2+1) + 1/[√(n+2)+√(n+1)]}
= -1/(√2+1) = 1 - √2

Answer 4

Answer 5

an=√（n+2）–2√(n+1)+√n=[√(n+2)–√(n+1)]–[√(n+1)–√n]。令bn=√(n+1)–√n，则bn+1=√(n+2)–√(n+1)。所以∑an=b2–b1+b3–b2+……bn+1–bn=bn+1–b1=1–√2