Question

求微分方程y’’-2y’+y=e^-x的通解

Answer 1

解：首先其次解y''-2y'+y=0的解为y=（cx+d)*e^x
下面求一个特解即y''-2y'+y=e^x
-----(1)
令y=z*e^x
代入（1）有(z*e^x)''-2(z*e^x)'+z*e^x=e^x
即z''e^x+2*z'e^x+z*e^x-2z*e^x-2z'*e^x+z*e^x=e^x
即z''=1
=>z=x^2/2+m*x+n
取z=x^2/2即可
故最后通解=（x^2/2+cx+d)*e^x
c,d为全体数
证毕

Answer 2

先计算齐次方程的解，特征根为1（2重），因此齐次的解为y=（C1+C2
x）e^x，C1，C2为常数；
然后计算特解：
等式右边为e^（-x），因此设特解为y=ke^(-x)，代入得
4ke^(-x)
=e^(-x)，解得k=1/4
因此通解为y=（C1+C2
x）e^x+1/4
e^(-x)

Answer 3

特征方程r^2-2r+2=0r=1±i齐次通解y=e^x(C1cosx+C2sinx)设其特解是y=ae^xy''=y'=y代入原方程得a=1所以特解是y=e^x原方程的通解是y=e^x(C1cosx+C2sinx)+e^x

Answer 4

特征方程R^2-R+2=0,特征方程的解为R1=-1,R2=2;
微分方程特解为C1e^(-x)+C2e^(2x);
特解为1/2e^x;
通解为y=C1e^(-x)+C2e^(2x)+1/2e^x;
C1,C2为积分常数

Answer 5

y=(C1+C2x)e^x+(1/2)(x^2)*(e^x)