Question

证明直线与圆相切的方法

Answer 1

　　在我们平凡的日常里，大家高中数学免不了要接触或直线与圆相切吧，以下是我帮大家整理的证明直线与圆相切的方法，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

　　证明直线与圆相切主要有以下两种方法：

　　一、根据切线的判定定理

　　经过半径的'外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　当已知直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是连结公共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可。

　　例1. （2004年江苏省淮安市中考题）

　　已知：如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G。

　　

　　图1

　　（1）连结CD，若AG＝4，DG＝2，求CD的长；（解略）

　　（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F。求证：EF与⊙O相切。

　　证明：（2）连结OD，由∠1＝∠2，

　　得

　　

　　，则OD⊥BC

　　所以

　　

　　因为EF∥BC，所以∠BCD＝∠CDF

　　从而

　　

　　即EF⊥OD，所以EF与⊙O相切。

　　例2. （2002年湖北省黄冈市中考题）

　　如图2，BE是⊙O的直径，点A在BE的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连结OD，且∠AOD＝∠APC。

　　（1）求证：AP是⊙O的切线。

　　（2）略。

　　

　　图2

　　证明：连结OP，因为PD⊥BE，OP＝OD

　　所以∠POB＝∠DOB，而∠APD＝∠DOB

　　所以∠POB＝∠APD

　　由PD⊥BE得：∠POB＋∠OPC＝90°

　　即∠APD＋∠OPC＝90°

　　所以AP是⊙O的切线

　　二、根据直线与圆的位置关系

　　若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。

　　当题设中不能肯定直线与圆有公共点时，常用此法。辅助线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半径即可。

　　例3. （2003年甘肃省中考题）

　　如图3，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心、r为半径作圆，当r＝2.4时，AB与圆有怎样的位置关系？为什么？

　　

　　图3

　　解：作CD⊥AB，垂足为D，则

　　

　　由CD·AB＝AC·BC得：

　　

　　即AB与圆相切。

　　例4. 如图4，AB是⊙O的直径，AC⊥ l ，BD⊥ l ，C、D为垂足，且AC＋BD＝AB，求证：直线 l 与⊙O相切。

　　

　　图4

　　证明：过O作OE⊥ l ，E为垂足，则

　　OE∥AC∥BD，又AO＝BO

　　所以

　　

　　而

　　

　　，则

　　

　　即垂线段OE等于圆的半径，所以直线 l 是⊙O的切线。