Question

一验证函数y=Cxlnx是否是微分方程 x^2y^n-xy'+y=0 的解?是通解还是特解?并求

Answer 1

x^2(Cxlnx)^n - x(C + C)lnx + Cxlnx = 0

化简得到：

Cx^(n+1)(lnx)^n - 2Cxlnx = 0

移项并整理得：

Cxlnx(x^n-2) = 0

因为 x 和 ln x 都不等于 0，所以只有当 (x^n-2)=0 时，上式成立。即 n=2。

结论是，当 n=2 时，函数 y=Cxlnx 是微分方程 x^2y^n - xy' + y = 0 的解。

接下来考虑该函数是通解还是特解。为此我们需要对微分方程进行求解。

将微分方程 x^2y^n - xy' + y = 0 变形，得到：

y' - (1/x)y = x^{2-n}

这是一个一阶常系数非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法来求解。设 y = Axlnx，则 y' = A(lnx+1)，将其代入上式得到：

A(lnx+1) - (1/x)Axlnx = x^{2-n}

整理得到：

A = -\frac{x^{3-n}}{lnx}

因此，方程的通解为：

y(x) = Cxlnx - \frac{x^{3-n}}{lnx}

当 n=2 时，可以得到：

y(x) = Cxlnx - \frac{1}{lnx}

因此，当 n=2 时，函数 y=Cxlnx 不是微分方程 x^2y^n-xy'+y=0 的特解，而是其通解。