Question

已知二次函数Y=ax2+bx+c的图像经过点A(1,0)B(2,0)C（0，-2），直线X=m与x轴交于点D

在直线x=m上有一点E（点E在第四象限），使得EDB为顶点的三角形与AOC为顶点的三角形相似，求E坐标（用含m的代数式表示）。
在（2）成立的条件下，抛物线是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；

Answer 1

（1）∵二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2）
∴a＋b＋c＝0
4a＋2b＋c＝0
c＝－2
解得a＝－1，b＝3，c＝－2
∴二次函数的解析式y＝－x ²＋3x－2
（2）当△EDB∽△AOC时，有AO/ED＝CO/BD或AO/BD＝CO/ED
∵AO＝1，CO＝2，BD＝m－2
当AO/ED＝CO/BD时，得1/ED＝2/(m－2)，∴ED＝(m－2)/2
∵点E在第四象限，∴E1（m，(m－2)/2）
当AO/BD＝CO/ED时，得1/(m－2)＝2/ED，∴ED＝2m－4
∵点E在第四象限，∴E2（m，4－2m）
（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则
EF＝AB＝1，点F的横坐标为m－1
当点E1的坐标为（m，(m－2)/2）时，点F1的坐标为（m－1，(2－m)/2）
∵点F1在抛物线的图象上，∴(2－m)/2＝－(m－1)²＋3(m－1)－2
∴2m ²－11m＋14＝0，解得m1＝7/2，m2＝2（不合题意，舍去）
∴F1（7/2，－3/4）
∴S□ABEF ＝1×3/4＝3/4
当点E2的坐标为（m，4－2m）时，点F2的坐标为（m－1，4－2m）
∵点F2在抛物线的图象上，∴4－2m＝－(m－1) ²＋3(m－1)－2
∴m ²－7m＋10＝0，解得m1＝5，m2＝2（不合题意，舍去）
∴F2（4，－6）
∴S□ABEF ＝1×6＝6