Question

已知F(x)为函数f(x)的一个原函数,且f(x)=F(x)/√(1+x^2),则f(x)=

数学积分问题

Answer 1

应该是f(x)=xF(x)/(1+x²)

若f(x)=xF(x)/(1+x²)
f(x)/F(x)=x/(1+x²)，

而根据复合函数求导定义,可得f(x)/F(x)=(lnF(x))',x/(1+x²)=(1/2ln(1+x²))'
所以(lnF(x))'=(1/2ln(1+x²))'，即 lnF(x)=1/2ln(1+x²)+C, C为常数

F(x)=C*(1+x²)^(1/2)，
f(x)=Cx/[(1+x²)^(1/2)]

追问

答案写的：C[(x+√(1+x²)]/√(1+x²) 应该一样吧！ 谢谢！

Answer 2

原方程可化为F'(x)=F(x)/√(1+x^2)
即dF(x)/dx=F(x)/√(1+x^2)
所以dF(x)/F(x)=dx/√(1+x^2)
那么lnF(x)=ln(x+√(1+x^2))+c1=lnC(x+√(1+x^2))
所以F(x)=C(x+√(1+x^2))

所以f(x)=F'(x)=C/√(1+x^2)

追问

那么lnF(x)=ln(x+√(1+x^2))+c1=lnC(x+√(1+x^2))

大家都用这步，但是这步我看不懂，求解释。谢谢！

追答

c1是个常数，令c1=lnC
ln(x+√(1+x^2))+c1=ln(x+√(1+x^2))+lnC=lnC(x+√(1+x^2))

追问

不是，是上一步怎么转换成这一步的，一直看不懂！

追答

哦，那个∫1/√(1+x^2)dx=ln(x+√(1+x^2))+c是个结论，你要不明白的话，就用参数法求一下，令x=tant

我的最后一步写错了，应该是f(x)=F'(x)=C[(x+√(1+x²)]/√(1+x²)

那个楼上的是错的，Cx/[(1+x²)^(1/2)]和正确答案是两码事。

满意请采纳谢谢支持。

Answer 3

做出来了，。，加我头像的扣，，发给你。。。这个不好发