Question

如图,在等腰梯形ABCD中,AB平行CD,AC⊥BD于O,BF⊥DC于F。求证:AB+DC=2BF

Answer 1

证明：延长射线BA至点E，且AE=CF
因为AB平行CD，BF⊥DC于F，已知
所以ED=BF，平行线之间的距离处处相等
因为ABCD是等腰梯形，已知
所以AD=BC，等腰梯形的意义
在三角形ADE和三角形BCF中
AE=CF，已作
AD=BC，已证
ED=BF，已证
所以三角形ADE≌三角形BCF
所以∠E=∠C，全等三角形的对应角相等
因为AB平行CD，已知
所以∠BFD+∠EBF=180°
因为 BF⊥DC于F，已知
所以∠BFD=90°,垂直的意义
所以∠EBF=180°-∠BFD，等式性质
=90°，等量代换
所以∠E=90°，等量代换
所以DE平行BF，同旁内角互补，两直线平行
所以BEDF为正方形，正方形的定义
所以DF=BE=DE，正方形的性质
因为AE=FC，DE=BF，全等三角形的对应边相等
所以AB+DC=AE+AB+DC-DF，等量代换
即AB+DC=DF+BE
因为DF+BE=2DE，等式性质
所以AB+DC=2DE，等量代换
=2BF，等量代换