Question

已知函数y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤π），

已知函数y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤π），当x=π/6时，y取最小值时此函数的最小正周期为4π/3,最大值为5,。⑴求出此函数的解析式；⑵写出此函数的单调区间。

Answer 1

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表
X ： -π/6 π/3 5π/6 4π/3 11π/6 7π/3 17π/6
Y ： -1 1 3 1 -1 1 3
1）根据表格求函数F(X)的解析式
(2)根据【1】的结果，若函数y=f（kx）（k>0）周期为2π/3，当x包含于闭区间,【0,π/3】时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围。

(1)解析：∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)
由表中数据可知
函数最小值为f(-π/6)=Asin(-wπ/6+φ)+B=-1
函数最大值为f(5π/6)=Asin(5wπ/6+φ)+B=3
∴A=(最大-最小)/2=(3-(-1))/2=2，B=(最大+最小)/2=(3+(-1))/2=1
T/2=5π/6-(-π/6)=π==>T=2π==>w=2π/T=1
∴f(x)=2sin(x+φ)+1
f(-π/6)=2sin(-π/6+φ)+1=-1==> sin(-π/6+φ)=-1==>-π/6+φ=-π/2==>φ=-π/3
∴f(x)=2sin(x-π/3)+1

(2)解析：令函数y=f(kx)= 2sin(kx-π/3)+1（k>0）周期为T=2π/3
∴k=2π/T=2π/(2π/3)=3
∴y=2sin(3x-π/3)+1
∵当x∈[0,π/3]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解
即函数y=2sin(3x-π/3)+1图像与直线y=m在区间[0,π/3]上有二个不同的交点
先考察当m=0时的情况：
y=2sin(3x-π/3)+1=0==> sin(3x-π/3)=-1/2==>3x-π/3=-π/6==>x=π/18
显然不合题意
y(π/3)=2sin(π-π/3)+1=1+√3
考察当m=1+√3时的情况：
y=2sin(3x-π/3)+1=1+√3==> sin(3x-π/3)=√3/2
==>3x-π/3=π/3==>x=2π/9或3x-π/3=2π/3==>x=π/3
显然合题意，即m>=1+√3时，满足题意
3x-π/3=π/2==>x=5π/18
又函数y=2sin(3x-π/3)+1最大值为3，在区间[0,π/3]上存在一个最大值点x=5π/18
此时，函数y=2sin(3x-π/3)+1图像与直线y=3在区间[0,π/3]上存在一个交点
不合题意
∴实数m的取值范围为1+√3<=m<3

写得很细了，不知你能否看懂