如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点E处，点C
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点E处，点C落在点D处．P、Q分别为线段AC、AD上的两个动...
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点E处，点C落在点D处．P、Q分别为线段AC、AD上的两个动点，且AQ=2PC，连接PQ交线段AE于点M．（1）设AQ=x，△APQ面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）若以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，求AQ的长；（3）是否存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ的长；若不存在请说明理由．
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解：（1）如图1过点Q作QH⊥AC，垂足为H，（1分）∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，
∴∠DAC=60°，△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=30°，∠EAC=30°，
∴在直角三角形AQH中sin60°＝
| QH |
| AQ |
∴QH=
| ||
| 2 |
∵AQ=2PC，AC=4，
∴PC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S△AQP＝
| 1 |
| 2 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 8 |
| 3 |
（2）如图2过点P作PF⊥AB，垂足为F．（1分）
∵以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，
∴PC=P．F（1分）
在直角三角形APF中，sin30°＝
| PF |
| AP |
∴
| 1 |
| 2 |
| ||
4?
|
∴x＝
| 8 |
| 3 |
即：若以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，则AQ的长为
| 8 |
| 3 |
