Question

已知函数f（x）=mx 3 +nx 2 （m，n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线与x轴平行，

已知函数f（x）=mx 3 +nx 2 （m，n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线与x轴平行，（1）用关于m的代数式表示n；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）若x 1 ＞2，记函数y=f（x）的图象在点M（x 1 ，f（x 1 ））处的切线l与x轴的交点为（x 2 ，0），证明：x 2 ≥3．

Answer 1

（1）∵f（x）=m 3 x+nx 2 ， ∴f′（x）=3mx 2 +2nx． 由题意得：f′（2）=0，即3m+n=0， ∴n=-3m；（4分） （2）∵n=-3m， ∴f（x）=mx 3 -3mx 2 ，f′（x）=3mx 2 -6mx， 令f′（x）＞0， 得3mx 2 -6mx＞0， 当m＞0时，∴x＜0或x＞2， ∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞）， 当m＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，2）；（8分） （3）由（1）得：f（x）=mx 3 -3mx 2 ，f′（x）=3mx 2 -6mx， l：y-（mx 1 3 -3mx 1 2 ）=（3mx 1 2 -6mx 1 ）（x-x 1 ）， 令y=0，由m≠0，x 1 ＞2，则 x 2 = 2 x 21 -3 x 1 3( x 1 -2) ， 所以 x 2 -3= 2 x 21 -3 x 1 3( x 1 -2) -3= 2 x 21 -12 x 1 +18 3( x 1 -2) = 2 ( x 1 -3) 2 3( x 1 -2) ， ∵x 1 ＞2．（x 1 -3） 2 ≥0， ∴x 2 -3≥0，即x 2 ≥3．（12分）