已知函数 ，其中e为自然对数的底数，且当x>0时 恒成立．（Ⅰ）求 的单调区间；（Ⅱ）求实数a的所有
已知函数，其中e为自然对数的底数，且当x>0时恒成立．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求实数a的所有可能取值的集合；（Ⅲ）求证：....
已知函数 ，其中e为自然对数的底数，且当x>0时 恒成立．（Ⅰ）求 的单调区间；（Ⅱ）求实数a的所有可能取值的集合；（Ⅲ）求证： .
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| （Ⅰ） 减区间是  ,增区间是 ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）详见解析. |
| 试题分析：（Ⅰ）确定定义域，求  ，由  求得增区间，由  求得减区间；（Ⅱ）利用在区间 上， 恒成立，则 求解；（Ⅲ）利用构造法，构造新函数求解.试题解析：(Ⅰ)  , , ， 的减区间是 ,增区间是 . (2分)(Ⅱ)  恒成立,即 , , 恒成立. (3分)设  , ,由于  在 上是增函数,且 , 时, 是减函数, 时, 是增函数, ,从而若 恒成立,必有 . (5分)又  , 的取值集合为 . (6分)(Ⅲ)由(Ⅰ)知,  ,即 ,当且仅当 时等号成立, 时,有 .   , (9分)设  ,则  ,当  时, 是减函数,当 时,
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