Question

如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2所示

如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2所示．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为212．

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）连接BM，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为CD中点，AM＝BM＝

2

，
由勾股定理得BM⊥AM；                  
折起后，平面ADM⊥平面ABCM，且平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM；
得BM⊥平面ADM，
又AD?平面ADM，所以AD⊥BM；          
（2）在△BDM中，作EF∥BM交DM于F．
（1）中已证明BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM，EF是三棱锥E-MAD的高，
VM?ADE＝VE?MAD＝

1

3

(

1

2

AD?DM)?EF=

2

12

，∴EF＝

2

2

，
∴△DMB中，BM＝

2

，且EF∥BM，
∴EF为中位线，E为BD的中点．