Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[a，a+1]（a∈R）上的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

（1）∵二次函数f（x）满足条件f（0）=1，
∴设f（x）=ax²+bx+1，
则f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2ax+a+b=2x
∴2a=2，a+b=0，
则a=1，b=-1，
所以f（x）=x²-x+1
（2）f（x）=x²-x+1=（x-

1

2

）²-

3

4

当a+1≤

1

2

，即a≤-

1

2

时，函数f（x）在[a，a+1]上是单调减函数，
则g（a）=f（a+1）=a²+a+1
当a＜

1

2

＜a+1，即-

1

2

＜a＜

1

2

时，则g（a）=f（

1

2

）=

3

4

当a≥

1

2

时，函数f（x）在[a，a+1]上是单调增函数，则g（a）=f（a）=a²-a+1
综上：g（a）=

a2+a+1，a≤? 1 2 3 4 ，? 1 2 ＜a＜ 1 2 a2?a+1，a≥ 1 2