Question

有一个百层球垛,这个球垛第一层有一个球,第二层有三个,第三层有6个……

第100层有（ ）个球。这100层共有多少个小球？

Answer 1

第100层有5050个球，算法如下：
第一层1个，第二层3个=1+2，第三层6个=1+2+3......
所以第100层的小球数量为1+2+3+...+100=（1+100）*100/2=5050个，
总数则为：
1+（1+2）+（1+2+3）+...+（1+2+3+...+100）
=100*1+99*2+98*3+...+51*50+50*51+...+3*98+2*99+1*100
=（101*1-1*1）+（101*2-2*2）+（101*3-3*3）+...（101*100-100*100）
=101*（1+2+3+...+100）-（1*1+2*2+3*3+...+100*100）
=101*5050-
1*1+2*2+3*3+...+100*100我实在想不出来怎么求，总不能拿计算器一个个加吧！

Answer 2

第N层有1+2+...+N=(1+N)*N/2个球，所以第100层有101×100/2=5050个球
先(1+3+6+10+......+5050)×2 =2+6+12+20+......+10100=(1+2+...+5050+1^2+2^2+...+N^2)/2=[(1+N)*N/2 + N*(N+1)*(2N+1)/6]/2 个球
所以100层共有[5050+100*101*201/6]/2 =171700

^代表平方，N代表最后一项。