Question

若n为大于1的自然数,求证:1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n大于13/24

Answer 1

数学归纳法：
（1）n=2时，1/3+1/4=14/24〉13/24

（1）从n=k到n=k+1，算式增加了1/（2k+1）+1/（2K+2）-1/（k+1）
=1/（2k+1）+1/（2K+2）-1/（2k+2）-1/（2k+2）
=1/（2k+1）-1/（2k+2）〉0
所以如果n=k成立，n=k+1成立
证毕！

Answer 2

自然数n>1,求证:1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n>13/24
常规的论证过程：
证：用数学归纳法。
记f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n，题意即证f(n)>13/24
(1)当n=2时,f(n)=7/14>13/24;
(2_1)设f(k)>13/14(即n=k时命题成立)；
(2_2)当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+1/(2k+1)+1/(2k+2)-1/(k+1)=f(k)+1/(2k+1)-1/(2k+2)>f(k)
由(2_1)(2_2),f(k+1)>f(k)>13/24.即n=k+1时命题成立。
由归纳法原理，原命题成立。

我们看到，上面是一种套路，里面有很多重复的语言，没有直接深入本质(主题)。事实上，我们了解了归纳法的本质，就应当得其要意而去其赘形。

下面，我对归纳法略作简单的简化和本质分析，然后进行简化的解题。
事实上，华罗庚先生曾经对数学归纳法的各种变形形式进行过整理。我认为，事实上可以分为两步：
(1)垫基(初值检验)
(2)假设命题成立，在对变量进行一种可遍历的扩展后(注###)，命题仍然成立，则命题自然成立。
在这种思路下，我们常用的描述:n=n,如何；n=n+1又如何，有些时候可以方便的简化为：(假设命题成立(这是套话，可以省略);)对自变量n向n+1递进时的情况进行论证，即可得证。

证：记f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
f(2)=1/3+1/4=7/12>13/24
f(n+1)-f(n)=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)=1/(2n+1)-1/(2n+2)>0,从而f(n+1)>f(n)>13/24
(由n到n+1是一种可遍历扩展，)故得证。

注###：上面谈了我对归纳法的认识。我们常用的是自然数的归纳法。从n到n+1的递推，只是遍历的方式之一；另有所谓第二归纳法，跳跃归纳法，跷跷板归纳法，等等，都只是遍历的一种方式。同时，遍历，是可重不可漏的(允许重复；但遍历二字，意味着不漏，用多种途径证实变量的局部后，最后所有的子集的并集应当完全包含命题中的条件集。

另外：这种思路，除了应用到我们通常所用的归纳法中之外，实际上在数学的很多情境中用到，例如解微积分方程，利用递推法时的初值检验(我常用)，牛顿插值法及类似方法的垫基+修正思想，等等。

同时，我此时考虑到了实数归纳法和其他代数结构上的归纳法，有限集上的归纳法。哦，我搜了一下“实数归纳法”，找到张景中院士在1986提出过连续归纳法，并被广泛应用。 ( 我国著名的数学家、数学教育家张景中院土，在1986年提出了关于实数理论的“连续归纳法原理”这是一个相当简单、便于应用和掌握的定理．这个定理，可以作为刻画实数的连续性的公理，以代替实数理论中的其它公理；从它出发，可以用统一模式推出已知的一系列关于实数的定理；从它出发，可以用统一模式证明微积分中涉及连续性的各个命题．这是张景中院土关于教育数学的一项重要成果．…… 证明了一个适用于任意有序集的一般归纳原理,以此为基础导出了数学归纳法、超限归纳法和连续归纳法,从而揭示出三种归纳法的共同基础。文中的例子显示出连续归纳法可用统一模式简单明了地给出数学分析中若干定理的证明,如果在数学专业的分析教学中应用连续归纳法,将有助于克服长期存在的教学难点,提高教学的质量和效率。同时也为分析推理的机械化进行了必要的准备。 )