Question

圆0的直径AB长为10，弦AC长为6，角ACB的平分线交圆O于D，则CD长为

Answer 1

令CD与AB相交于E。
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴BC＝√（AB^2－AC^2）＝√（10^2－6^2）＝8。
∵∠ACE＝∠BCE，∴AE/BE＝AC/BC，∴AE/（AB－AE）＝AC/BC＝6/8＝3/4，
∴AE/AB＝3/（4＋3）＝3/7，∴AE＝（3/7）AB＝（3/7）×10＝30/7。

∵AC⊥BC，∴sinA＝BC/AB＝8/10＝4/5。
∵AC⊥BC、∠ACE＝∠BCE，∴∠ACE＝45°，∴sin∠ACE＝1/√2。
由正弦定理，有：CE/sinA＝AE/sin∠ACE，
∴CE＝AEsinA/sin∠ACE＝（30/7）×（4/5）/（1/√2）＝12√2/7。

∵A、D、B、C共圆，∴∠CAE＝∠CDB，又∠ACE＝∠DCB，∴△ACE∽△DCB，
∴AC/CD＝CE/BC，
∴CD＝AC×BC/CE＝6×8/（12√2/7）＝2√2/7。