Question

求圆盘（x-2）2+y2≤1绕y轴旋转所成的旋转体体积

求圆盘（x-2）2+y2≤1绕y轴旋转所成的旋转体体积．

Answer 1

圆盘(x-2)^2+y^2≤1绕y轴旋转所成的旋转体体积为4π^2。

解：因为由(x-2)^2+y^2=1，可得，

x=2±√(1-y^2)。

又(x-2)^2+y^2≤1，那么可得1≤x≤3，-1≤y≤1。

那么根据定积分求旋转体体积公式，以y为积分变量，可得体积V为，

V=∫(-1,1)(π*(2＋√(1-y^2))^2-π*(2-√(1-y^2))^2)dy

=8π∫(-1,1)√(1-y^2)dy

令y=sint，由于-1≤y≤1，那么-π/2≤t≤π/2，那么

V=8π∫(-1,1)√(1-y^2)dy

=8π∫(-π/2,π/2)costdsint

=4π∫(-π/2,π/2)(cos2t+1)dt

=4π∫(-π/2,π/2)1dt+2π∫(-π/2,π/2)(cos2t)d(2t)

=4π*(π/2-(-π/2))+2π*(sinπ-sin(-π))

=4π^2+0

=4π^2

扩展资料：

1、定积分∫(a,b)f(x)dx的性质

（1）当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。

（2）当a>b时，∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx。

（3）常数可以提到积分号前。即∫(a,b)K*f(x)dx=K*∫(a,b)f(x)dx。

2、定积分的解答方法

（1）换元积分法

如果f(x)∈C([a,b])，且x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导，那么当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b，且ψ(α)=a，ψ(β)=b，则∫(a,b)f(x)dx=∫(α,β)f(ψ(t))*ψ′(t)dt。

（2）分部积分法

设u=u(x)，v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b])，则有分部积分公式为，

∫(a,b)uv′dx=uv(a,b)-∫(a,b)vu′dx。

3、利用定积分求旋转体的体积

（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数。

（2）分清端点。

（3）确定几何体的构造。

（4）利用定积分进行体积计算。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

有2种方法。

方法一

方法二

Answer 3

据对称性，所求旋转体体积是上半圆盘绕y轴旋转所成的旋转体体积V₁的2倍，因此
V＝2(

∫

1 0

π

x

2 2

(y)dy?

∫

1 0

π

x

2 1

(y)dy)
=2π

∫

π/2 0

(2+cost)2costdt?2π

∫

π/2 π

(2+cost)2costdt
=2π

∫

π 0

(2+cost)2costdt=4π²．

Answer 4

上半圆：y1=2+√(1-x²); 下半圆：y2=2-√(1-x²);
V=2[∫Π*y1²dx - ∫Π*y2²dx]
(上式 上限为1，下限为-1)
=4*Π* ∫[ (2+√(1-x²))² - (2-√(1-x²))² ]dx
(上式 上限为1，下限为0,以下相同)
=16*Π*∫√(1-x²)dx
令x=sint dx=cost dt
(以下式子上限为Π/2，下限为0)
∴V=16*Π*∫cos²tdt
=8*Π*∫(cos2t+1)dt 二倍角公式
=4*Π*∫cos2t d(2t) + 8*Π*∫dt
=4*Π²