Question

已知数列{a n }各项均为正数，其前n项和为S n ，且满足4S n =(a n +1) 2 .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b

已知数列{a n }各项均为正数，其前n项和为S n ，且满足4S n =(a n +1) 2 .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n = ，数列{b n }的前n项和为T n ,求T n 的最小值.

Answer 1

（1）a n =2n-1；（2） .

试题分析：(1)本小题可化归为a n+1 =S n+1 -S n ，整理为4a n+1 =a n+1 2 -a n 2 +2a n+1 -2a n 再因式分解为2(a n+1 +a n )=(a n+1 +a n )(a n+1 -a n )，即可得到a n+1 -a n =2，根据等差数列的定义，可知{a n }为等差数列，易得其通项公式；（2）本小题b n 通项公式先进行裂项，利用裂项相消法可求得T n 的值，可证明T n+1 >T n ， 易知{T n }为递增数列，则最小值为T 1 . 试题解析：(1)因为(a n +1) 2 =4S n ,所以S n = ,S n+1 = . 所以S n+1 -S n =a n+1 = 即4a n+1 =a n+1 2 -a n 2 +2a n+1 -2a n , ∴2(a n+1 +a n )=(a n+1 +a n )(a n+1 -a n ). 因为a n+1 +a n ≠0,所以a n+1 -a n =2,即{a n }为公差等于2的等差数列.由(a 1 +1) 2 =4a 1 ,解得a 1 =1,所以a n =2n-1. (2)由(1)知b n = = ,∴T n =b 1 +b 2 +…+b n = ∵T n+1 -T n = ∴T n+1 >T n ，∴数列{T n }为递增数列，∴T n 的最小值为T 1 = . 与 的关系： ，等差数列的定义，裂项相消法，递增数列的定义.