Question

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1中点（1）求异面直线BC与AE所成角的余弦值；（2）求证：AC

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1中点（1）求异面直线BC与AE所成角的余弦值；（2）求证：AC∥平面B1DE；（3）求三棱锥A-B1DE的体积．

Answer 1

（1）解：由题意，AD∥BC，
∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，
在△RtADE中，由于DE=

5

，AD=2，可得AE=3
∴cos∠DAE=

AD

AE

=

2

3

；
（2）证明：取BB₁的中点F，连接AF、CF、EF．
∵E、F是C₁C、B₁B的中点，
∴CE∥B₁F且CE=B₁F
∴四边形B₁FCE是平行四边形，
∴CF∥B₁E．
∵正方形BB₁C₁C中，E、F是CC、BB的中点，
∴EF∥BC且EF=BC
又∵BC∥AD且BC=AD，
∴EF∥AD且EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，
∵AF∩CF=C，BE∩ED=E，
∴平面ACF∥平面B₁DE．  又∵AC?平面ACF，
∴AC∥面B₁DE．
（3）解：∵AC∥面B₁DE
∴A到面B₁DE 的距离等于C到面B₁DE 的距离，
∴V_A-B1DE=V_C-B1DE=V_D-B1DC=

1

3

?

1

2

?1?2?2=

2

3

．