Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点．（1）求证：BD⊥AE；（2）求点A到平面BDE的距

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点．（1）求证：BD⊥AE；（2）求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

（1）证明：连AC，则
∵正方体AC₁中，CC₁⊥平面ABCD，∴CC₁⊥BD．
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩CC₁=C．
∴BD⊥平面ACE，
∴AE?平面ACE，
∴BD⊥AE；
（2）解：设A到平面BDE的距离为h，则
∵棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，
∴BE=DE=

5

，BD=2

2

，
∴S_△BDE=

6

，
∴

1

3

×

6

h＝

1

3

×2×1，
∴h=

6

3

．