Question

如图，正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC

如图，正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC．

Answer 1

解答：证明：连接CM，延长BC、MN，两延长线交于点E．
设正方形的边长是2a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
又∵M是AD中点，
∴AM=DM，
∴△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∴∠MBC=∠MCB，
又∵∠BME=∠MBE，
∴△EMB∽△MCB，
∴BE：BM=BM：BC，
又∵BM=

AM2+AB2

=

5

a，
∴BE=

5

2

a，
∴CE=

5

2

a-2a=

1

2

a，
又∵AD∥BE，
∴△DMN∽△CEN，
∴DN：CN=DM：CE，
∴DN：CN=a：

1

2

a=2，
∴DN=2CN．