Question

设f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，且不恒为0，记gn(x)＝f(x)xn(n∈N*)．若对定义域内的每一个x，总

设f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，且不恒为0，记gn(x)＝f(x)xn(n∈N*)．若对定义域内的每一个x，总有gn（x）＜0，则称f（x）为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x，总有[gn(x)]′≥0，则称f（x）为“n阶不减函数”（[gn(x)]′为函数gn（x）的导函数）．（1）若f(x)＝ax3?1x?x(x＞0)既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”f（x），如果存在常数c，使得f（x）＜c恒成立，试判断f（x）是否为“2阶负函数”？并说明理由．

Answer 1

（1）依题意，g1(x)＝

f(x)

x

＝

a

x4

?

1

x2

?1在（0，+∞）上单调递增，
故[g1(x)]′＝?

4a

x5

+

2

x3

≥0恒成立，得a≤

1

2

x2，…（2分）
因为x＞0，所以a≤0．                 …（4分）
而当a≤0时，g1(x)＝

a

x4

?

1

x2

?1＜0显然在（0，+∞）恒成立，
所以a≤0．                            …（6分）
（2）①先证f（x）≤0：
若不存在正实数x₀，使得g₂（x₀）＞0，则g₂（x）≤0恒成立．  …（8分）
假设存在正实数x₀，使得g₂（x₀）＞0，则有f（x₀）＞0，
由题意，当x＞0时，g2′(x)≥0，可得g₂（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＞x₀时，

f(x)

x2

＞

f(x0)

x02

恒成立，即f(x)＞

f(x0)

x02

?x2恒成立，
故必存在x₁＞x₀，使得f(x1)＞

f(x0)

x02

?x12＞m（其中m为任意常数），
这与f（x）＜c恒成立（即f（x）有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当x＞0时，g₂（x）≤0，即f（x）≤0；        …（13分）
②再证f（x）=0无解：
假设存在正实数x₂，使得f（x₂）=0，
则对于任意x₃＞x₂＞0，有

f(x3)

x32

＞

f(x2)

x22

＝0，即有f（x₃）＞0，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以f（x）=0无解，
综上得f（x）＜0，即g₂（x）＜0，
故所有满足题设的f（x）都是“2阶负函数”．        …（16分）