Question

已知数列{an} 中a1=2，点（an，an+1） 在函数f（x）=x2+2x的图象上，n∈N*．数列 {bn} 的前n项和为Sn，且

已知数列{an} 中a1=2，点（an，an+1） 在函数f（x）=x2+2x的图象上，n∈N*．数列 {bn} 的前n项和为Sn，且满足b1=1，当n≥2时，Sn2=bn（Sn-12）（1）证明数列{lg（1+an）}是等比数列；（2）求Sn；（3）设Tn=（1+a1）（1+a2）+…+（1+an），cn=2Sn2n+1，求limn→∞[Tn32n+1?nk＝1ck]的值．

Answer 1

（1）由已知可得a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=2，∴a_n+1＞1，两边取对数得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
即

lg(1+an+1)

lg(1+an)

＝2
∴数列{lg（1+a_n）}是公比为2的等比数列．
（2）当n≥2时，S_n²=b_n（S_n-

1

2

）=（S_n-S_n-1）（S_n-

1

2

）
展开整理得：S_n-S_n-1=2S_nS_n-1，若S_n=0，则有b_n=0，则S₂=1+b₂≠0，矛盾，所以S_n≠0，
所以在等式两侧同除以S_nS_n-1得

1

Sn

?

1

Sn?1

＝2，
∴{

1

Sn

}为等差数列
∴

1

Sn

＝2n?1，
∴Sn＝

1

2n?1

．
（3）由（1）知lg（1+a_n）=2^n-1?lg（1+a₁）=2^n-1?lg3=lg32n?1．
∴1+a_n=32n?1．
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）=320?321?322…32n?1=31+2+22+…+2n?1=32n?1．
c_n=

2Sn

2n+1

=

2

(2n?1)(2n+1)

=

1

2n?1

?

1

2n+1

．
∴

Tn

32n+1

?

n

k＝1

ck＝

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