Question

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB等于90°，AC=6，BC=8，AD是角BAC的平分线。若P，

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB等于90°，AC=6，BC=8，AD是角BAC的平分线。若P，Q分别是我AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是多少？

Answer 1

画CE垂直AD交AB于E，AD于F，因为AD是角平分线，所以CF=EF。

画EQ垂直AC交AC于Q，AD于P，连接CP。

CF=EF，CE垂直AD，PF=PF。

三角形CPF与三角形EPF全等，CP=EP。

要使PC+PQ最短，便是如图所示的情况，此时EPQ在同一直线上。

接下来求QE的长度。

EQ垂直AC，三角形ACE又是AC=AE的等腰三角形，因此EQ就是AC腰边上的高，与AE边上的高是相等的，而AE边上的高其实就是三角形ABC斜边AB边上的高。

AB*高=AC*BC

EQ=高=6*8/10=4.8

三角形角的性质：

1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

Answer 2

在AB上截取AM=AQ，
连接PM，则PM=PQ，
∴PC+PQ=PC+PM≥CM
当CM是AB边上的高时，
CM取得最小值，
此时，PC+PQ最小，
∵AB=√(6²+8²)=10
∴h=6×8÷10=4.8
∴PC+PQ的最小值为4.8

Answer 3

作DM垂直AB，连接PM，则PC＝PM，PC+PQ＝PM+PQ，当P Q M三点在一条直线上，且和AC垂直时，有最小值。作MN垂直AC，则MN是满足条件的最小值，此时△AMN相似△ABC，故得到MN＝4.8