Question

为什么复合函数的单调性是“同增异减”怎么个证明

Answer 1

设函数f:X→Y，g:Y→Z，则g○f是从X到Z的复合函数（即(g○f)(x)=g(f(x))，任取x∈X）.
设f单调递减，即任取X中互异的x1,x2，若x1<x2，则f(x1)≥f(x2).设g亦单调递减.
则任取X中互异的x1,x2，若x1<x2，则由f单调递减，f(x1)≥f(x2).
若f(x1)>f(x2)，即f(x2)<f(x1)，则由g单调递减，g(f(x2))≥g(f(x1))，即g(f(x1))≤g(f(x2))，即(g○f)(x1)≤(g○f)(x2)；若f(x1)=f(x2)，则g(f(x2))=g(f(x1))，即g(f(x1))=g(f(x2))，即(g○f)(x1)=(g○f)(x2).
则总有(g○f)(x1)≤(g○f)(x2)，故复合函数g○f单调递增.
剩下的情况类似可证.

Answer 2

设函数f:X→Y，g:Y→Z，则g○f是从X到Z的复合函数（即(g○f)(x)=g(f(x))，任取x∈X）.
设f单调递减，即任取X中互异的x1,x2，若x1<x2，则f(x1)≥f(x2).设g亦单调递减.
则任取X中互异的x1,x2，若x1<x2，则由f单调递减，f(x1)≥f(x2).
若f(x1)>f(x2)，即f(x2)<f(x1)，则由g单调递减，g(f(x2))≥g(f(x1))，即g(f(x1))≤g(f(x2))，即(g○f)(x1)≤(g○f)(x2)；若f(x1)=f(x2)，则g(f(x2))=g(f(x1))，即g(f(x1))=g(f(x2))，即(g○f)(x1)=(g○f)(x2).
则总有(g○f)(x1)≤(g○f)(x2)，故复合函数g○f单调递增.
剩下的情况类似可证.

Answer 3

先证明异减，同增一样的思路

F(x)=f(g(x)),f(x)递增,g(x)递减
令x1g(x2)
因为f(x)是增函数,g(x1)>g(x2)
所以：f(g(x1))>f(g(x2))
即：F(x1)>F(x2)
所以,F(x)是减函数

Answer 4

应该是这个吧