Question

如图所示，竖直平面内有一个四分之三光滑圆弧形轨道，圆弧半径为R，AD为水平面，A端与圆心等高，B点在圆

如图所示，竖直平面内有一个四分之三光滑圆弧形轨道，圆弧半径为R，AD为水平面，A端与圆心等高，B点在圆心的正上方，一个质量为m的小球，自A点以竖直向下的初速度进入圆弧轨道，经过圆弧上的B点飞出后落到c点．己知AC=R，重力加速度为g．求：（1）小球通过B点时对轨道的压力大小；（2）小球在A点的初速度大小；（3）若圆弧轨道不光滑，小球在A点仍以相同的初速度进入圆弧轨道，恰能通过B点，则小球在运动过程中克服摩擦力做了多少功？

Answer 1

（1）小球离开B点后做平抛运动，
在竖直方向上：R=

1

2

gt²，
在水平方向上：R+R=v_Bt，
在B点，由牛顿第二定律得：F+mg=m

v 2 B

R

，
解得：F=mg，
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为mg，方向竖直向上；
（2）从A到B过程，由机械能守恒定律得：

1

2

mv_A²=mgR+

1

2

mv_B²，解得：v_A=2

gR

；
（3）小球恰好通过B点，重力提供向心力，
由牛顿第二定律得：mg=m

v2

R

，
从A到B过程，由动能定理得：
-mgR-W=

1

2

mv²=

1

2

mv_A²，
解得：W=

1

2

mgR；
答：（1）小球通过B点时对轨道的压力大小为mg；
（2）小球在A点的初速度大小为2

gR

；
（3）小球在运动过程中克服摩擦力做了

1

2

mgR的功．