Question

设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问：（1）α1能否由α2，α3线性表出？证

设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，问：（1）α1能否由α2，α3线性表出？证明你的结论．（2）α4能否由α1，α2，α3线性表出？证明你的结论．

Answer 1

（1）
∵向量组α₁，α₂，α₃线性相关，
∴向量组α₁，α₂，α₃中至少有一个可以由其他两个线性表示；
又∵向量组α₂，α₃，α₄线性无关
∴向量组α₂，α₃，α₄中任意一个均不能由其他两个表示出来；
从而：α₂和α₃不能相互表示，
即α₂和α₃是线性无关的；
故：α₁能由α₂，α₃线性表出．

（2）
∵α₁能由α₂，α₃线性表出，且向量组α₂，α₃，α₄线性无关，
∴α₁和α₄是线性无关的；
从而：α₄不能由α₁，α₂，α₃线性表出．

Answer 2