Question

已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3，∠BAD=60°长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一

已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3，∠BAD=60°长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为（　　）A．29πB．49πC．23πD．43π

Answer 1

∵△MDN为直角三角形，P为MN的中点，
∴DP=

1

2

MN=1．
∴P点的轨迹是以D为球心半径为1的球被平行六面体截得的曲面，
由题意得∠ADC=120°=

2π

3

，
∴它的体积是该球体积的

1

3

×

1

2

=

1

6

，
∴MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为：
V=

1

6

×

4π

3

×13=

2π

9

．
故选：A．