Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），函数g（x）的导函数g′（x）=ex，且函数f（x）无极值，g（0）g′（1）=-

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），函数g（x）的导函数g′（x）=ex，且函数f（x）无极值，g（0）g′（1）=-e（其中e为自然对数的底数）．（1）求a的取值范围；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜2x+mx-2成立，求实数m的取值范围；（3）当a≤0时，对于任意的x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+

1

x

（x＞0）；
当a≥0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（x）无极值；
当a＜0时，f′（x）=

a(x+ 1 a )

x

；
若x∈（0，-

1

a

）时，f′（x）＞0；若x∈（-

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）存在极大值，且当x=-

1

a

时，f（x）_极大=f（-

1

a

）=ln（-

1

a

）-1；
综上，a的取值范围是[0，+∞）；
（2）∵函数g（x）的导数是g′（x）=e^x，
∴g（x）=e^x+c；
∵g（0）g′（1）=-e，
∴（1+c）e=-e，
∴c=-2，∴g（x）=e^x-2；
∵存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜

2x

+

m

x

-2成立，
即存在x∈（0，+∞），使得m＞e^x

x

-

2

x成立；
令h（x）=e^x

x

-

2

x，则问题可化为m＞h（x）_min，
对于h（x）=e^x

x

-

2

x，x∈（0，+∞），
∵h′（x）=e^x（

x

+

1

2 x

）-

2

，
当x∈（0，+∞）时，∵e^x＞1，

x

+

1

2 x

≥2

x ? 1 2 x

=

2

，
∴e^x（

x

+

1

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