Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x 1 ，x 2 ∈[0，3]

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x 1 ，x 2 ∈[0，3]，且x 1 ≠x 2 时，都有 f( x 1 )-f( x 2 ) x 1 - x 2 ＞0 ．给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

①：对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，则f（-3+6）=f（-3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0． ②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6， 又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（-x）， 而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6）， 所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴． ③：当x 1 ，x 2 ∈[0，3]，且x 1 ≠x 2 时，都有 f( x 1 )-f( x 2 ) x 1 - x 2 ＞0 所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数， 因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[-3，0]上为减函数 而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数． ④：f（3）=0，f（x）的周期为6， 所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0 函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点． 故答案为：①②④．