Question

过抛物线y=2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线与A(x1，y1),B(x2，y2)两点，求证

过抛物线y=2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线与A(x1，y1),B(x2，y2)两点，求证(1)x1x2=p/4,y1y2=-p
(2)1/|AF|+1/|BF|=2/P

Answer 1

解由题知抛物线的交点为（p/2,0)
设过焦点的直线的斜率为k
当k不存在时，AB垂直x轴，即A(p/2,p），B(p/2,-p）
即x1x2=p/2×p/2=p^2/4
当k存在时
故焦点的直线为y=k（x-p/2）
由y=k（x-p/2）
与y^2=2px
联立消y得
k^2(x^2-px+p^2/4)=2px
即k^2x^2-(k^2p-2p）x+k^2p^2/4=0
由根与系数的关系知
x1x2=c/a=（k^2p^2/4）/k^2=p^2/4
故综上知x1x2=p^2/4
打字不易，如满意，望采纳。