Question

如图,平面直角坐标系(单位:cm)中,B(5,4),D(-3,0),过B作BC⊥x轴于C,BA⊥y轴于A

如图，平面直角坐标系（单位：cm）中，B（5，4），D（-3，0），过B作BC⊥x轴于C，BA⊥y轴于A，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B方向向终点B运动：点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿D→C方向向终点C运动，已知动点P，Q同时出发，当点P，点Q有一点到达终点时，P，Q都停止运动，设运动时间为t秒（1）用含t的代数式表示，BP= cm，CQ= cm，当t= 秒时，四边形PQCB为矩形（2）在点P运动过程中，函数y=k/x
（k为常数，k≠0）的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交与M点，设△POM的面积为S（cm2），请写出S关于t的函数表达式（3）在点P，点Q的运动过程中，是非存在某一时刻，使坐标平面上存在点R，以P，Q，C，R为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t值及对应的点R的坐标，请说明理由

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Answer 1

解:(1)∵AP＝tcm，AB＝125px，
∴BP＝(5-t)cm；
∵DC＝DO+OC＝3+5＝8(cm)，DQ＝2tcm，
∴QC=DC-DQ=(8-2t)cm；
当PB＝QC时，四边形PQCB为矩形，
∴5-t=8-2t，
解得　t＝3(秒)；
(2)∵点P的坐标为(t,4),点P在反比例函数的图象上，
∴k=4t,y=4tx,
∴点M的坐标为(5,45t),BM=4-45t，
连接PO、PM、OM，
∴S=S矩形AOCB −S△AOP−S△PBM−S△OCM
=5×4−12t×4−12(5−t)(4−45t)−12×5×45t=−25t2+10.
∵点Q从点D运动到点C用时为4秒，点P从点A运动到点B用时为5秒，
∴0≤t≤4.
∴S=−25t2+10(0≤t≤4).

(3)存在.
∵点P的坐标为(t,4),点Q的坐标为(2t-3,0),点C的坐标为(5,0),
∴PQ2=(t−3)2+16,PC2=(t−5)2+16,QC2=(8−2t)2,
若PQ＝PC，
即　(t−3)2+16=(t−5)2+16,
解得　t=4(不合题意舍去)；
若PQ＝QC，
即　(t−3)2+16=(8−2t)2，
解得　t=13−213√3或t=13+213√3(不合题意舍去)；
若四边形PQCR为菱形，则PR∥QC，点R在直线AB上，
AR＝AP+PR＝t+8-2t=8-13−213√3=11+213√3.
此时点R的坐标为(11+213√3,4).
若Pc＝QC，
即　(t−3)2+16=(8−2t)2，
解得　t=11−213√3或t=11+213√3(不合题意舍去)；
若四边形PQCR为菱形，则PR∥QC，点R在直线AB上，
AR＝PR-AP＝8-2t-t=8-3t=8-11+213−−√=-3+213−−√.
此时点R的坐标为(3-213−−√,4).