Question

设∑是平面X+Y+Z=1被柱面X²+Y²=a²所截的部分，则曲面积分∫∫(2+Y)ds= 求

设∑是平面X+Y+Z=1被柱面X²+Y²=a²所截的部分，则曲面积分∫∫(2+Y)ds= 求详细步骤

Answer 1

r^2=R^2+z^2,∑在yoz平面的投影为矩形：z从0到H，y从-R到R由于dS=√(1+y^2/(R^2-y^2))dydz=R/√(R^2-y^2))dydz由对称性（∑在yoz平面的投影要计算2个）∫∫∑（1/r^2）dS=2R∫(0,H)（1/(R^2+z^2）dS∫(-R,R)1/√(R^2-y^2))dy=2arctan(z/R)|(0,H)arcsin(y/R)|(-R,R)=2πarctan(H/R)