Question

已知一元二次方程x^2-2ax+a^2-a+1=0的两个实数根x1、x2,则代数式(x1-1)^2+(x2-1)^2

已知一元二次方程x^2-2ax+a^2-a+1=0的两个实数根x1、x2,则代数式(x1-1)^2+(x2-1)^2的最小值为多少

Answer 1

解：
(x-a)²=a-1
方程有实根，a-1≥0，a≥1 (也可以用判别式法，比较麻烦)
由韦达定理得x1+x2=2a，x1x2=a²-a+1
(x1-1)²+(x2-1)²
=x1²-2x1+1+x2²-2x2+1
=(x1²+2x1x2+x2²)-2(x1+x2)-2x1x2+2
=(x1+x2)²-2(x1+x2)-2x1x2+2
=(2a)²-2·2a-2·(a²-a+1)+2
=2a²-2a
=2(a-½)²-½
a≥1，2(a-½)²-½单调递增，a=1时，2(a-½)²-½取得最小值
[(x1-1)²+(x2-1)²]min=2·1²-2·1=0
当a=1时，(x1-1)²+(x2-1)²取得最小值，最小值为0