Question

已知等比数列｛an｝的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3^2=9a2a6

Answer 1

解：
1）
令等比数列an的通项公式为：
an=a1q^(n-1)，则：
2a1+3a1q=1
(a1q²)²=9a1qa1q^(5)
于是：
2a1+3a1q=1
q²=1/9
因此：
q=1/3
或者
-1/3
又∵an>0
因此：q=1/3，于是：
a1=1/3
an=(1/3)^n
2)
cn=bn/an
=(2n-1)/(1/3)^n
令数列{cn}的前n项和为Tn，则：
Tn=1/(1/3)
+
3/(1/3)²
+
5/(1/3)³
+
....+
(2n-1)/(1/3)^n
而：
Tn/3
=
1/(1/3)²
+
3/(1/3)³
+
....+
(2n-3)/(1/3)^n
+
(2n-1)/(1/3)^(n+1)
上述两式相减：
2Tn/3
=1/(1/3)
+
2[1/(1/3)²
+
1/(1/3)³+
...+
1/(1/3)^n]
-
(2n-1)/(1/3)^(n+1)
=1/(1/3)
+
2[1/(1/3)²]*[1-(1/3)^(n-1)]
/
(2/3)
-
(2n-1)/(1/3)^(n+1)
=3
+
27[1-(1/3)^(n-1)]
-
(2n-1)/(1/3)^(n+1)
Tn
=
9/2
+
(81/2)[1-(1/3)^(n-1)]
-
[3(2n-1)/2(1/3)^(n+1)]

Answer 2

解：﹙1）令等比数列an的通项公式为：
an=a1q^(n-1)，则：
2a1+3a1q=1
(a1q²)²=9a1*q*a1*q^(5)，
从而q²=1/9,q=1/3﹙负值不合题意，已舍﹚
故q=1/3.
an=1/3*﹙1/3﹚^﹙n-1﹚=﹙1/3﹚^n.
﹙2﹚错位相减法
bn=2n-1
由（1）cn=bn/an=﹙2n-1﹚/[﹙1/3﹚^n]
=﹙2n-1﹚*3^n
∴
sn=
3+2*3²+3*3³+......+
(n-1)*3^(n-1)
+n*3^n
﹙a﹚
再由(a)*1/3得到
1/3*sn=1+2*3
+3*3²+4*3³+......+
n*3^(n-1).
﹙b﹚
﹙a﹚-﹙b﹚得：2/3*sn=n*3^n
-[1+3+3²+3³+......+3^(n-1)]
=n*3^n-[﹙3^n-1﹚/2]
故sn...解：﹙1）令等比数列an的通项公式为：
an=a1q^(n-1)，则：
2a1+3a1q=1
(a1q²)²=9a1*q*a1*q^(5)，
从而q²=1/9,q=1/3﹙负值不合题意，已舍﹚
故q=1/3.
an=1/3*﹙1/3﹚^﹙n-1﹚=﹙1/3﹚^n.
﹙2﹚错位相减法
bn=2n-1
由（1）cn=bn/an=﹙2n-1﹚/[﹙1/3﹚^n]
=﹙2n-1﹚*3^n
∴
sn=
3+2*3²+3*3³+......+
(n-1)*3^(n-1)
+n*3^n
﹙a﹚
再由(a)*1/3得到
1/3*sn=1+2*3
+3*3²+4*3³+......+
n*3^(n-1).
﹙b﹚
﹙a﹚-﹙b﹚得：2/3*sn=n*3^n
-[1+3+3²+3³+......+3^(n-1)]
=n*3^n-[﹙3^n-1﹚/2]
故sn=3/2*n*3^n-1/2*3^n+1/2.

Answer 3

(1)a3^2=9a2a6
(a2p)^2=9a2(a2p^4)
a2^2p^2=9a2^2p^4
∵此数列各项均为正数∴a2^2<>0,p>0
两边同时除以a2^2p^2，得9p^2=1,p=1/3
2a1+3a2=1
2a1+3*[(1/3)*a1]=1
2a1+a1=1
3a1=1
a1=1/3
an=a1p^(n-1)=1/3*(1/3)^(n-1)=1/3^n
(2)bn=log3a1+log3a2+...+log3an
=log3(a1*a2*...*an)
=log3[(1/3)*(1/3^2)*...*(1/3^n)]
=log3[(1/3)^(1+2+...+n)]
=(1+2+...+n)*log3(1/3)
=-n(n+1)/2
1/bn=-2/n(n+1)
=(-2)*[1/n(n+1)]
=(-2)*[1/n-1/(n+1)]
1/b1+1/b2+...+1/bn
=(-2)*(1-1/2)+(-2)*(1/2-1/3)+...+(-2)*[1/n-1/(n+1)]
=(-2)*[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=(-2)*[1-1/(n+1)]
=-2n/(n+1)

Answer 4

解：﹙1）令等比数列an的通项公式为：
an=a1q^(n-1)，则：
2a1+3a1q=1
(a1q²)²=9a1qa1q^(5)，q²=1/9,q=1/3﹙负值不合题意，已舍﹚
∴a1=1/3.
an=1/3*﹙1/3﹚^﹙n-1﹚=﹙1/3﹚^n.
﹙2﹚∵bn=2n-1
∴Cn=bn/an=﹙2n-1﹚/[﹙1/3﹚^n]
=﹙2n-1﹚*3^n
∴sn=
3+2*3²+3*3³+......+
(n-1)*3^(n-1)
+n*3^n
﹙1﹚
1/3*sn=1+2*3+3*3²+4*3³+......+
n*3^(n-1).
﹙2﹚
﹙1﹚-﹙2﹚得：2/3*sn=n*3^n
-[1+3+3²+3³+......+3^(n-1)]
=n*3^n-[﹙3^n-1﹚/2]
∴sn=3/2*n*3^n-1/2*3^n+1/2.