Question

已知等比数列｛an｝的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3^2=9a2a6

第二问，设bn=2n-1，Cn=bn/an，求数列｛Cn｝的前n项和。速度啊，今天下午就要的。

Answer 1

解：
1）
令等比数列an的通项公式为：
an=a1q^(n-1)，则：
2a1+3a1q=1
(a1q²)²=9a1qa1q^(5)
于是：
2a1+3a1q=1
q²=1/9
因此：
q=1/3 或者 -1/3
又∵an>0
因此：q=1/3，于是：
a1=1/3
an=(1/3)^n
2)
cn=bn/an
=(2n-1)/(1/3)^n
令数列{cn}的前n项和为Tn，则：
Tn=1/(1/3) + 3/(1/3)² + 5/(1/3)³ + ....+ (2n-1)/(1/3)^n
而：
Tn/3 = 1/(1/3)² + 3/(1/3)³ + ....+ (2n-3)/(1/3)^n + (2n-1)/(1/3)^(n+1)
上述两式相减：
2Tn/3 =1/(1/3) + 2[1/(1/3)² + 1/(1/3)³+ ...+ 1/(1/3)^n] - (2n-1)/(1/3)^(n+1)
=1/(1/3) + 2[1/(1/3)²]*[1-(1/3)^(n-1)] / (2/3) - (2n-1)/(1/3)^(n+1)
=3 + 27[1-(1/3)^(n-1)] - (2n-1)/(1/3)^(n+1)
Tn = 9/2 + (81/2)[1-(1/3)^(n-1)] - [3(2n-1)/2(1/3)^(n+1)]

Answer 2

解：﹙1）令等比数列an的通项公式为：
an=a1q^(n-1)，则：
2a1+3a1q=1
(a1q²)²=9a1*q*a1*q^(5)，
从而q²=1/9,q=1/3﹙负值不合题意，已舍﹚
故q=1/3.
an=1/3*﹙1/3﹚^﹙n-1﹚=﹙1/3﹚^n.
﹙2﹚错位相减法
bn=2n-1
由（1）cn=bn/an=﹙2n-1﹚/[﹙1/3﹚^n]
=﹙2n-1﹚*3^n
∴ sn= 3+2*3²+3*3³+......+ (n-1)*3^(n-1) +n*3^n ﹙a﹚
再由(a)*1/3得到
1/3*sn=1+2*3 +3*3²+4*3³+......+ n*3^(n-1). ﹙b﹚
﹙a﹚-﹙b﹚得：2/3*sn=n*3^n -[1+3+3²+3³+......+3^(n-1)]
=n*3^n-[﹙3^n-1﹚/2]
故sn=3/2*n*3^n-1/2*3^n+1/2.

Answer 3

解：﹙1）令等比数列an的通项公式为：
an=a1q^(n-1)，则：
2a1+3a1q=1
(a1q²)²=9a1qa1q^(5)，q²=1/9,q=1/3﹙负值不合题意，已舍﹚
∴a1=1/3.
an=1/3*﹙1/3﹚^﹙n-1﹚=﹙1/3﹚^n.
﹙2﹚∵bn=2n-1
∴Cn=bn/an=﹙2n-1﹚/[﹙1/3﹚^n]
=﹙2n-1﹚*3^n
∴sn= 3+2*3²+3*3³+......+ (n-1)*3^(n-1) +n*3^n ﹙1﹚
1/3*sn=1+2*3+3*3²+4*3³+......+ n*3^(n-1). ﹙2﹚
﹙1﹚-﹙2﹚得：2/3*sn=n*3^n -[1+3+3²+3³+......+3^(n-1)]
=n*3^n-[﹙3^n-1﹚/2]
∴sn=3/2*n*3^n-1/2*3^n+1/2.

Answer 4

a3^2=9*a2*a6 既a1*a1*q^4=9*a1*q*a1*q^5 得q^2=9 an>0 ∴q=1/3
2a1+3a2=1 既2a1+3a1*1/3=1 得a1=1/3

∴an=a1*q^(n-1)=1/3*(1/3)^(n-1)=(1/3)^n
∴cn=bn/an=3^n(2n-1)
∴Sn=3*1+3^2*3+3^3*5+3^4*7+……3^n(2n-1)
Sn/3=1+3*3+3^2*5+3^3*7+……3^(n-1)*(2n-1)

∴Sn/3-Sn=1+3*(3-1)+3^2(5-3)+3^3(7-5)+……+3^(n-1)*(2n-1)-3^n(2n-1)
=1+2(3+3^2+3^3+……+3^(n-1))-3^n(2n-1)
=1+2{3(1-3^(n-1))/(1-3)}-3^n(2n-1)
=3^n(2-2n)-2=-2/3Sn
∴Sn=3^(n+1)*(n-1)+3