Question

数学二项式题目？

(x + 1 + 1/x²⁰¹⁵)¹⁰,x的序数为？
写下解题过程和相关公式，谢谢

Answer 1

答案是10

主要用到二项式定理，不好写公式，就说一下：对(a+b)^n，其展开可以形成多项式，多项式的第k项可以表示为：
Cnk*a^k*b^(n-k)
Cnk表示组合数，n是下角标，k是上角标，表示从n个元素中取出k个元素有多少种组合，Cnk=n!/(k!*(n-k)!)，!是阶乘运算，n!=1*2*...*n，特殊的，0!=1
k从0到n的整数
于是，对题目，我们可以知道，要寻找x这一项，就需要将上面式子展开，寻找合适的k。由于上面是3个项，所以组合两个之后，再行选择
先将1独立为一项，于是展开的每一项可以表示为：
10!(x+x^(-2015))^k/(k!*(10-k)!)，k从0到10
对中间多项式带着k再展开一次：
(x+x^(-2015))^k
=k!x^m*x^(-2015*(k-m))/(m!*(k-m)!)
=k!x^(m-2015*(k-m))/(m!*(k-m)!)
=k!x^(2016m-2015k)/(m!*(k-m)!，m为0到k
于是可以知道，我们要求的就是当：
k=0到10，m=0到k时，是否存在2016m-2015k=1，如果存在，则对每组k和m，两次展开系数相乘再求和就是所求x的1次方项的系数
可以分析知：
k=0时，不成立
k=1且m=1时，成立
k>1时，由于m≤k，则2016m-2015k=m+2015(m-k)，m=k时，才有系数为m在个位数量级，要求k=1才行，与分类讨论不符
所以m=k=1是唯一情况，则：
第二次展开系数：k!/(m!*(k-m)!)=1!/(1!*0!)=1
第一次展开系数：10!/(k!*(10-k)!)=10!/(1!*9!)=10
所以x的系数为10