Question

若过点(0，0)的直线l与曲线 相切，则直线l的方程为____．

Answer 1

【分析】 设切点为(x 0 ，y 0 )，则y 0 =x 0 3 -3x 0 2 +2x 0 ，一方面利用两点斜率公式表示切线斜率k，另一方面，根据导数的几何意义求出曲线在点x 0 处的切线斜率，建立关于x 0 的方程，得出k的值，即可求l的方程． 设直线l：y=kx．∵y′=3x 2 -6x+2，∴y′| x=0 =2，
又∵直线与曲线均过原点，于是直线y=kx与曲线y=x 3 -3x 2 +2相切于原点时，k=2．直线l的方程为 2x-y=0
若直线与曲线切于点(x 0 ，y 0 )(x 0 ≠0)，则k= ，∵y 0 =x 0 3 -3x 0 2 +2x 0 ，
∴ =x 0 2 -3x 0 +2，
又∵k= =3x 0 2 -6x 0 +2，
∴x 0 2 -3x 0 +2=3x 0 2 -6x 0 +2，∴2x 0 2 -3x 0 =0，
∵x 0 ≠0，∴x 0 = ，∴k=x 0 2 -3x 0 +2=- ，直线l的方程为x+4y=0. 【点评】 本题主要考查了导数的几何意义，来求切线方程问题．要注意所给的点分是否为切点考虑．