Question

高数：收敛，有界，有极限 之间的联系与区别到底是什么？

Answer 1

收敛是指会聚于一点，向某一值靠近。如数列收敛，函数收敛的定义。

数列收敛

令{a n}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|a n-A|<b恒成立，就称数列{a n}收敛于A（极限为A），即数列{a n}为收敛数列。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

函数的有界性

设函数f(x)的定义域为D，f（x）集合D上有定义。

如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。

函数极限

设函数f(x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<∣x0-x∣<δ时，对应的函数值f(x）都满足不等式：

那么常数A就叫做函数f(x）当x－﹥x0时的极限。

函数有界，但不一定收敛。比如函数y=sinx此类的三角函数是发散的。

函数收敛，但不一定有界，比如函数y=1/n，n为自然数，y=1/n是无界的。

函数极限存在，根据单调有界准则，函数必定收敛。

函数极限存在，根据极限的有界性，函数必定有界。

函数有界，但不一定存在极限；根据单调有界准则，函数极限应存在上界和下界才能成立。此外函数有界有存在单侧有界的情况。

扩展资料:

函数极限存在准则

1、夹逼定理

当x0在δ的去心邻域时，有g（x）－﹥x0=A，h（x）－﹥x0=A成立，且∣a m-a n∣<ξ，那么，f(x)极限存在，且等于A。

2、单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。

一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

3、柯西准则

数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有极限值为A成立。

参考资料来源：百度百科-函数极限

参考资料来源：百度百科-函数的有界性

参考资料来源：百度百科-收敛