Question

已知ab属于R+,n>1,n属于N*,求证(a^n+b^n)/2>=((a+b)/2)^n

Answer 1

证明利用数学归纳法证明，当n=1,显然成立，假设n=k时命题成立, 即(a^k+b^k)/2≥((a+b)/2)^k，下面证明n=k+1时命题也成立,
因为(a-b) (a^k- b^k)≥0，故得a^(k+1)+b^(k+1) -ba^k-ab^k≥0，
2(a^(k+1)+b^(k+1))≥a^(k+1)+b^(k+1)+ab^k+ba^k
(a^(k+1)+b^(k+1))≥(a+b) (a^k +b^k)/2
由归纳法假设(a^k+b^k)/2≥((a+b)/2)^k，故得
(a^(k+1)+b^(k+1))≥((a+b)/2)^(k+1)
完成了归纳法证明。