Question

已知函数f(x)是定义域在R上的增函数,g(x)=f(x)-f(-x)

已知函数f(x)是定义域在R上的增函数,g(x)=f(x)-f(-x). (1)试判断函数g(X)的奇偶性，并证明 （2）利用函数单调性的定义证明函数g（x）是R上的增函数 （3）试解不等式g（1/m）+g(2)≤0

Answer 1

1。证明：因为函数f(x)是定义域为R,g(x)=f(x)-f(-x). g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x) 所以g(x)是R上的奇函数 2。证明：设x1、x2是定义域上的两个数，且x1<x2 g(x2)-g(x1)=f(x2)-f(-x2)-f(x1)+f(-x1)=(f(x2)-f(x1))-(f(-x2)-f(-x1)) 因为函数f(x)是定义域在R上的增函数 所以f(x2)-f(x1)>0,f(-x2)-f(-x1)<0 所以g(x2)-g(x1)>0 所以函数g（x）是R上的增函数 3。解：g（1/m）+g(2)≤0 g(1/m)<=-g(2) 因为函数g（x）是R上的增函函数，g(-x)=-g(x) 所以g(1/m)<=g(-2) 1/m<=-2 m>=-1/2