Question

在（x/2-1/³√x）的n次方的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式种常数项是多少

Answer 1

解答：n是偶数还是奇数是由题中说第几项最大决定的，而且要注意二项展开式的表示是
T(r+1)=C(n,r)a^r*b^(n-r)
∴第5项r=4
∵(a+b)^n的展开式中，
当n是偶数时，中间的一项C(n,n/2)取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项C(n,(n-1)/2)，C(n,(n+1)/2)相等。
这是教材杨辉三角
又∵在[x/2-1/x^(1/3)]^n的展开式中,
只有第5项的二项式系数最大，
∴n为偶数且n/2=4，即n=8。
∴根据二项式展开式的通项公式可得：
T(r+1)=C(8,r)（x/2）^(8-r)[-1/x^(1/3)]^r
=(-1)^r×C(8,r)*2^(r-8)*x^(8-4r/3)
∴应有：8-4r/3=0，可得r=6
∴常数项为T7=(-1)^6*C(8,6)*2^(6-8）
=1*C(8,6)*1/4
=1*28*1/4
=7