Question

取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B

取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图2；第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图3；利用展开图4探究： （1）△AEF是什么三角形？证明你的结论。（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。

Answer 1

解：（1））△AEF是等边三角形 证明：∵△ABE与△AB′E完全重合 ∴△ABE≌△AB′E，∠BAE=∠1 由平行线等分线段定理知EB′=B′F 又∵∠AB′E=90° ∴△AB′E≌△AB′F，AE=AF，∠1=∠2= ∠BAD=30° ∴△AEF是等边三角形 ； （2）不一定 由上推证可知当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的宽：长=AB：AF=sin60°= ：2 时正好能折出。 设矩形的长为a，宽为b，可知：当b≤ a时，按此法一定能折出等边三角形 当 a<b＜a时，按此法无法折出完整的等边三角形。