Question

如图，如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=

如图，如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为 ，若 ABC固定不动， AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以 ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD 2 +CE 2 =DE 2 ；（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD 2 +CE 2 =DE 2 是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

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Answer 1

解： ABE∽ DAE， ABE∽ DCA       ∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°      ∴∠BAE=∠CDA      又∠B=∠C=45°      ∴ ABE∽ DCA  （2）∵ ABE∽ DCA     ∴ ， 由依题意可知 CA=BA=1     ∴ m=      自变量n的取值范围为  ； （3） 由BD=CE可得BE=CD，即m=n     ∵m= ∴m=n=1，     ∵OB=OC=  ， BC=     ，D（ -1，0）     ∴BD=OB=OD=  -1=CE ，DE=2OD=2-  ，     ∴BD 2 +CE 2 =2BD 2 =6-4          ∴ （4）成立 证明：如图，将 ACE绕点A顺时针旋转90°至 ABH的位置，     则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°     连接HD，在 EAD和 HAD中     ∵AE=AH， ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD， AD=AD     ∴ EAD≌ HAD     ∴DH=DE  又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°      ∴BD 2 +HB 2 =DH 2 即BD 2 +CE 2 =DE 2